回路树对偶性（LTD）提供了一种有前景的途径，可以直接在动量空间中对多环积分进行数值积分。 它在一个循环中已经很好地建立了，但是在两个循环中只有稀疏的数值结果。 我们为新的multiloop LTD表达式提供形式推导，并研究其阈值奇异结构。 我们将研究结果从数值上应用到具有运动学的多达四环的有限拓扑的多样化集合，而这些运动不需要轮廓变形。 我们还为构造这种变形奠定了基础。 我们的研究结果是通向LTD的广泛而有效的数值实现的重要踏脚石，该实现可用于虚拟校正的计算。

我们为多支腿单环Feynman积分的直接数值计算提供了回路树对偶（LTD）方法的第一个数值实现。 我们详细讨论了对偶积分的奇异结构，并在循环三动量空间中定义了合适的轮廓变形，以进行数值积分。 然后，我们将LTD方法应用于紫外线和红外有限积分的计算，并给出了多达八个外部支路（八边形）的标量和张量积分的显式结果。 LTD方法具有出色的性能，而与外部支脚的数量无关。