我们研究伽利略对偶性的量子方面，特别是在特殊相互作用的伽利略理论的情况下，据说该理论通过同时场和坐标转换的作用对自由理论是双重的。 这似乎是将具有多个真空度的理论映射到具有唯一真空状态的理论。 但是，通过使用外部源调节对偶变换，我们可以在双帧中保留完整的真空结构。 通过在最大对称背景上显式计算单粒子不可约的有效作用，我们确定了对Wightman函数的半经典贡献，由于对偶映射中的奇异点，在先前的分析中并未将其考虑在内。 这可能会影响其在高能级时的光谱特性。 这些观察结果使人们对支持伽利略枪的非局部

基于任意n阶Coxeter根系统的有理Calogero模型被球面简化为在S n-1上运动的粒子的超积分角模型，该粒子在反射超平面处受到非常特殊的电势奇异点的影响。 概述了如何查找守恒费用并构造交织的运营商。 通过明智的复杂坐标变换，以PT $$ \ mathcal {P} \ mathcal {T} $$对称的方式对这些模型进行变形，从而使电势降低了奇异性。 PT $$ \ mathcal {P} \ mathcal {T} $$变形不会改变能量本征值，但在某些情况下会添加以前非物理的状态塔。

奇异粒子的坐标变换，胡嘉延，于立民，狭义相对性原理是说：表示物理定律的一切运动方程，对洛伦兹变换是协变的。因此我们有理由判断：如果表示物理定律的一切运动方程