我们使用回路树对偶形式论，将H→γγ非积分双振幅的有用性质从一回路水平扩展到两回路水平。 特别是，我们证明了功能形式的普遍性（无论内部粒子的性质如何）仍然保持此顺序。 我们还提出了一种算法方法，通过局部抵消被积体级别的紫外线奇点来重新归一化两环振幅，从而实现了该方法的完整的四维数值实现。 我们的结果与文献中已有的解析表达式进行了比较，从而找到了完美的数值一致性。 这种计算的成功对开发完全本地的四维框架以按照从前到后，从头到尾的顺序计算物理可观察物起着至关重要的作用。

我们为多支腿单环Feynman积分的直接数值计算提供了回路树对偶（LTD）方法的第一个数值实现。 我们详细讨论了对偶积分的奇异结构，并在循环三动量空间中定义了合适的轮廓变形，以进行数值积分。 然后，我们将LTD方法应用于紫外线和红外有限积分的计算，并给出了多达八个外部支路（八边形）的标量和张量积分的显式结果。 LTD方法具有出色的性能，而与外部支脚的数量无关。