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上传时间: 2008-01-20
详细说明： 集合论悖论的解决V4.0
李均宇(李林星) 2008.1.19 email:myvbvc@tom.com QQ:165442523
到现在为止,我并不知道集合论悖论是否被别人解决了.如果不包含下列的理论,我认为<<集合论>>是不完整的.
让我们首先讨论无限集合的势开始.
定义1:自然数集,整数集,有理数集的势叫X0.
定义2:实数集,直线中点集,平面中点集,立体空间中点集的势叫X1.
定义3:无限集合的势叫Xn.
李均宇定理:如果一个无限集合又包含自身的所有子集或幂集,则这个集合的势是limXn(n→∞),或者说,一个无限集合不可以再包含自身的所有子集或幂集.
证明:设无限集合A的势是Xn,n是固定不变的.因为无限集合A又包含自身的所有子集或幂集,而幂集的势是 X(n+1)=2^Xn,所以无限集合A的势变成X(n+1),这与原先假设无限集合A的势是Xn,n是固定不变的相矛盾,所以无限 集合A的势是limXn(n→∞).
推论一:所有集合的集合的势是limXn(n→∞).
证明:假设所有集合的集合为集合A,集合A的所有子集或幂集也是集合,所以也应包含在其中,所以集合A就是包含自身所有子集或幂集的集合,根据李均宇定理知其势是limXn(n→∞).
推论二:所有不包含自身的集合的集合的势也是limXn(n→∞).
证明:假设所有不包含自身的集合的集合是A,则集合A的所有子集或幂集也是不包含自身的集合.这一点可以用反证法来证明.因为假设集合A的子集B是包含自身的集合,则子集B中有元素B,元素B是包含自身的集合,而元素B又是集合A的元素,所以元素B是不包含自身的集合,矛盾,所以集合A的所有子集或幂集也是不包含自身的集合.如此一来,集合A也应包括自身的所有子集或幂集,根据李均宇定理知其势是limXn(n→∞).
定理1:任何序数的非空集合都有最小数,从而任何序数的集合在小于等于关系下都是良序集.
定理1是<<集合论>>已有的定理,所以这里无须证明.
李均宇第二定理:任何序数的集合的幂集也是序数.
证明:因为任何序数的集合的子集也是序数的集合,所以由定理1知其子集也是良序数,所以子集也是一个序数,则所有子集组成的幂集也就是序数的集合,由定理1知此幂集也是良序集,所以此幂集也是一个序数.
推论三:所有序数的集合的势也是limXn(n→∞).
证明:设所有序数的集合为集合A,由李均宇第二定理知此集合A的幂集也是序数,所以也应包含在集合A中,则集合A包含自身的幂集,由李均宇定理知此集合的势是limXn(n→∞).
序数悖论的问题在于"所有序数的集合",基数悖论的问题在于"所有集合的集合",罗素悖论的问题在于"所有不包含自身的集合组成的集合".因为根据上面证明的推论一二三,这三个集合的势都是limXn(n→∞).
一个无限集的势是limXn(n→∞),则这个集合是没有什么意义的,所以集合论悖论没有动摇现有科学的基础.
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