矩阵论讲义合集.pdf矩阵讲义合集，适合于复习以及各种专业考试，对大学老师也是一个讲义参考所以即和

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详细说明：矩阵讲义合集，适合于复习以及各种专业考试，对大学老师也是一个讲义参考所以即和相同,与假设相矛盾,故只有一个零元素 ②任一元素的负元素也是唯一的。假设∨∈,存在两个负元素和,则根据负元律有十十十十零元律结合律零元律即和相同,枚负元素唯一。 ()①:设则故恒等律 ②:设则+ 故线性相关性线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。线性组合:V 十称为元素组的个线性组合 ·线性表示:中某个元素可表示为其中某个元素组的线性组合,则称可由该元素组线性表示。 ·线性相关性:如果存在一组不全为零的数 ∈ 使得对于元素 ∈有则称儿素组线性相关,否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的概念,有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。线性空间的维数定义:线性空间中最大线性无关元素组所含元素个数称为的维数,记为本课程只考虑有限维情况,对于无限维情况不涉及例全体X阶实矩阵的集合构成一个实线性空间(对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算),求其维数。解一个直接的方法就是找一个最大线性无关组,其元素尽可能简单。令为这样的一个×阶矩阵,其元素为,其余元素为零显然,这样的矩阵共有X个,构成一个具有×个元素的线性无关元素组 }。另一方面,还需说明元素个数最大。对于任意的 x,都可由以上元素组线性表小, ∑→∑ 即 }构成了最大线性无关元素组,所以该空间问的维数为x 线性空间的基与坐标基的定义:设是数域上的线性空间 ≥是属于的个任意元素,如果它满足 () 线性无关; ()中任一向量均可由线性表示。则称为的一个基,并称为该基的基元素。基正是中最大线性无关元素组;的维数正是基中所含元素的个数基是不唯的,但不同的基所含元素个数相等例考虑全体复数所形成的集合。如果=(复数域),则该集合对复数加法和复数的乘法构成线性空间,其基可取为,空间维数为;如果取 (实数域) 则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间,其基可取为{},空间维数为。数域两种运算基般元素空间类型维数 ()复数加法: 复数域 ()复数对复数复线性空间的数乘 ()复数加法实数域 )实数对复数实线性空间的数乘坐标的定义:称线性空间的一个基为的一个坐标系, V∈,它在该基下的线性表小为: ∑55∈∈ 则称ξ5…5为在该坐标系中的坐标或分量,记为55…2 讨论:()一般米说,线性空间及其元素是抽象的对象,不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表小却把它们统一」起来,坐标表小把这种差别留给了基和基元素,由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。 ()更进一步,原木抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。 5+5 +5++ n 5++5++…+5+ 止对应 55…5 5+2+m…5+ 5+5+…+5=5+5 正对应=55…5→)=55…5 ()显然,同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关系、基交换与坐标变换基是不哐一的,因此,需要研究基改变时坐标变换的规律。设是的旧基, 是的新基,由」两老都是基,所以可以相互线性表示其中称为过渡矩阵,上式就给出了基变换关系,可以证明,是可逆的设∈,它在旧基下的线性表示为 =∑5=[ 它在新基下的线性表小为 =∑5= 则 55:5 由于基元素的线性无关性,得到坐标变换关系 g:5 55:g 作业: 补充:证明对于线性空间的零元素,V∈,均有第二讲线性子空问线性子空间的定义及其性质 1.定义:设是数域上的线性空间的一个非空子集合,且对已有的线性运算满足以下条件果 ∈ 则+∈ (2)如果∈ ∈,则则称是的一个线性子空间或子空间。 2.性质:(1)线性了空间与线性空间享有共同的零元素 (2)中元素的负元素仍在中。 [让明](1) ∈c ∴中的零元素也在中,与享有共同的零元素 (2)Q∈ ∈ 封闭性中元素的负元素仍在中 3.分类:子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间:{0}和本身非平凡了空间:除以上两类了空间 4.生成子空间:设为中的元素,它们的所有线性组合的集合 ∈ 也是的线性子空间,称为由生(张)成的子空间,记为或者若线性无关,则 5.基扩定理:设是数域上的线性空间的一个维子空间, 是的一个基,则这个基向量必可扩充为的一个基;换言之,在中必可找到一个元素 ++…,使得成为的一个基。这=个元素必不在中。子空间的交与和 1.定义:设是线性空间的两个子空间,则 ∈ ∈ +={+∈ ∈ 分别称为和交与和。 2.定理:若和是线性空间的两个子空间,则∩ 均为的子空间 [证明](1)V∈∩ ∈ ∴+∈ ∈ ∴∩是的一个线性子空问。十∈十 ∈ 十十十十 ∈ ∈ ∈ ∵+是的子空间。 3.维数公式:若是线性空间的子空间,则有 [让明]设需要证明十设是∩的一个基,根据基扩定理存在1) 使成为的一个基 2) 使成为的个基; 考察若能证明它为+的一个基,则有 + 成为基的两个条件: 1)它可以线性表示+中的任意元素 2)线性无关显然条件1)是满足的,现在证明条件2),采用反证法假定上述元素组线性相关,则存在一组不全为0的数使 ∑+∑+∑ 令=∑∈,则 ∑+∑ ∈ 则一可用 …线性表示, ∑+∑ 因为, 线性无关这与假设矛盾,所以上述元素线性无关,可作为的一个基十子空间的直和定义:设是线性空间的了空间,若其和空间+中的任元素只能唯的衣示为的个元素与的一个元素之和,即∨∈+,存在唯一的∈∈,使=+,则称+为与的直和,记为⊕ 子空间的直和六不是一种特殊的和,仍然是 ∈ 反映的是两个子空间的关系特殊 2.定理:如下四种表述等价 (1)+成为直和⊕ (2)∩ 为的基, 为的基,则为的基 [证明](2)和(3)的等价性显然采用循环证法:(1)〉(2)-)(4)-)(1) (1)→(2):已知假定≠且∈∩,则说明对0元素存在两种分解,这与直和的定义矛盾,所以假定不成立,在∩中只能存在 0元素,即∩={} (2)→(4):已知∩={} 成为基的两个条件: 1)可以线性表示+中的任意元素 2)线性无关 ∈,存在如下坐标衣示式 ∑ ∑n +可衣示+中的任·元素,

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