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本次重新下调了下载积分。6.逆矩阵性质:(AA)=1/入+A(AB)2=BA2(A)=(A)21A=|A
7.伴随矩阵A:A中各元的代数余子式转置后组成的矩阵
性质:
1)A=|A|A(基本性质)
2) AA=AA=AJE
3)|A'|=|A|"-
4)(A)*=(A+)(A-)=(A)
5)(AB)”=B′A
6)(A+)*=|A-A
7)R(A)=n,则R(A)=n
R(A)=n-1则R(A)=1
R(A)(E X
2) XA=B:(A B)->(E X
10.增广矩阵∶系数矩阵A等号右侧常数项B
R(A)n个特征向量线性无关==矩阵A能相似对角化
ZYI
第六章:二次型及其标准形
二次型与标准型
1.二次型:下侧的二次齐次函数
fC
a
+2a121x2+…+211x
+2a23x2x23+…+2a2x2xn
I+
2.二次型的矩阵:实对称矩阵
其中x_5
al
n2
a
称f()=XAX为二次型的矩阵形式其中实对称矩阵A称为该二次型的矩阵二次型∫称
为实对称矩阵A的二次型实对称矩阵A的秩称为二次型的秩.于是,二次型∫与其实对称
矩阵A之间有一一对应关系
3.标准形(法式):只含平方项的二次型,各项系数是各个特征值
4.规范形:标准形中的系数只含±1和0
5.矩阵合同:设AB是两个n阶方阵,若存在可逆矩阵C,使得CIAC=B,则称方阵A
与B合同,记作A=B。
6.合同矩阵性质
1)合同矩阵是等价矩阵,他们的秩相同
2)合同矩阵的正负惯性系数相同(充要条件
二次型化为其标准形
1.特征值法
1)写出二次型矩阵A
2)将A相似对角化,求得正交的变换矩阵C
3)按定义,CAC=B,B为变换后的标准型
2.拉格朗日配方法
3.初等变换法
4.特点:变换后的二次型不唯一,但含的项数(二次型的秩)确定
5.惯性定理:二次型化为标准型时系数为正的平方项个数(正惯性指数)p和系数为负的
方项个数(负惯性指数)q固定不变,p十q=二次型的秩,p-q=符号差
正定矩阵
1.定义:设对二次型f(x,x,…x)=XAX,若对vxER"且x不全为0
有f(x1,x2,…,xn)>0,则称f(x1,x2,…x)为正定一次型,对称矩阵A为正定矩
阵
2.N阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件:
1)f(x,x…,x)=XAx化成的标准型正惯性指数为n。
2)A的特征值全为正。
3)A与单位矩阵E合同。
4)A的各阶顺序主子式均为正。
ZYI
3.方阵A的K阶顺序主子式:A左上角处的k阶方阵。
四
负定矩阵
1.定义:正定矩阵>0的条件改为<0
2.N阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件:
1)f(x,x,…,x)=XAx化成的标准型负惯性指数为n。
2)A的特征值全为负。
3)A的偶数阶顺序主子式均为正,奇数阶顺序主子式均为负。
五
半正/负定矩阵
1.定义:正/负定矩阵>0/<0的条件改为>=0/<=0。
2.N阶实对称矩阵A是半正/负定矩阵的充要条件
f(x1,x2…,xn)=xAX化成的标准型正/负惯性指数为R(A)
六
不定矩阵
1.定义:非半正/负定矩阵
2.N阶实对称矩阵A是不定矩阵的充要条件:
f(x1,x2,…,xn)=XA化成的标准型正、负惯性指数都大于0
总结
两组等价表述
1.满秩矩阵=三可逆矩阵==非奇异矩阵==标准型是E==可表示为有限个初等方阵乘积
=行/列向量组线性无关三=特征值全不为0==行列式不为0
降秩矩阵〓〓不可逆矩阵〓奇异矩阵=行/列向量组线性相关〓=特征值有0==行列式
为0
2.n个特征值互不相等(不一定可逆)→n个特征向量线性无关〓=矩阵A能相似对角化
二、矩阵的关系
1.等价:A经过有限次初等变换变为B。R(A)=R(B)A不一定等于|B|。
2.相似:设A,B为n阶矩阵,有n阶可逆矩阵P存在,使得PAP=B。
3.合同:设A,B为n阶矩阵,有n阶可逆矩阵P存在,使得PAP=B。
4.可见:
1)相似矩阵和合同矩阵都属于等价矩阵
2)若可逆矩阵P是正交的(P2=P),则A和B既是相似矩阵又是合同矩阵,常见于
实对称矩阵的正交相似对角化
特殊矩阵
1.对角矩阵:只有对角线上有元素,各元素是各个特征值
2.最简形矩阵矩阵满足(1)是阶梯形矩阵;(2)所有的非零行的第一个非零元素均为
By ZY
1,且其所在列中的其他元素都是零
3.标准形矩阵:矩阵的左上角是单位矩阵,其余三部分可以没有或者是0
4.二次型的标准形:只含平方项的二次形,各项系数是各个特征值
5.二次型的规范形:标准形中的系数只含±1和0
6.逆矩阵A:AB=BA=E,A和B互为逆矩阵
7.伴随矩阵A:A中各元的代数余子式转置后组成的矩阵,A=A|A
8.正交矩阵:A=A,AA=AA=E
9.增广矩阵:系数矩阵A等号右侧常数项B
10.相容矩阵∶增广矩阵的方程组有解
11.线性相关矩阵:对于m个n维向量a1,a2;…,am,若存在一组不全为零的常数
b1,b2;…bm,使得a1b1+a2b2+…+anbn=零向量,则这组向量线性相关,否则线性无
关
12.过渡矩阵:可逆,右乘过渡矩阵可以进行基变换。
13.(半)正定/负定矩阵:见第六章
四、常见算法步骤
1.求非零矩阵的标准形:先变为行最简形再变为列最简形
2.求解矩阵(左行右列)
1)AX=B: (A B->E X
2)XA=B:(AB)一>(EX)
3.求逆矩阵:A=|AA或参照AA=E
4.求可逆矩阵/向量组的标准正交矩阵/向量组(按列)
1)正交化
1=a1
B2=a2
Ka2,Pi
11)
- P1
阝m=am-(p1)
at
1-m12B2
m1m-)
Pn
2)标准化
(i=1,2,…,m)
5.求特征值和特征向量
1)|A-入E=0(特征多项式),解得对应的所有入即所有的特征值
2)回代各入进(A-λE)X=0,解特征向量x
6.求实对称矩阵A的正交相似对角化矩阵B
1)求A的n个【全部)特征值(上5)
2)对每个特征值求解其特征向量并将其正交化、标准化(上4、5)
3)这N个列向量按序拼接成对应的变换矩阵P,通过PAP求得正交对角矩阵
7.二次型化为其标准形
1)写出二次型矩阵A
2)将A相似对角化,求得正交的变换矩阵C(上6
3)按定义,CAC=B,B为变换后的标准型
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