有限单元法课后习题全部答案-王勖成.pdf有限单元法的课后习题讲解，清华大学，王勖成教授。包括预备知

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详细说明：有限单元法的课后习题讲解，清华大学，王勖成教授。包括预备知识等章节。分强制边界和自然边界补充题试作加权余量发的最小二乘配点法,并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析 (最小二乘配点法思路是,利用使求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件,去建立求解试函数系数的方程。配点法是强迫余量误差在所选点上为,最小二乘配点法则是余量在所选点上的误差,满足平方和最小。) 解:近似函数为不失一般性余量为最小二乘配点法取权函数 δ-共中j=1,,n;k=1,,m且m≥n 加权余量要求写成矩阵形式因此,=∑ 系数矩阵对称,且无需积分。复丬题自然边界条件强制边界条件的区别何在为什么这样命名?对于一个给定的微分方稈,如何区分这两类边界条件? 自然边界条件与强制边界条件,二老都是针对边值条件来说的。边值条件一般有三类边尹条件。鹗一类:狄里克莱条件;第二类,诺依曼条件;第三类,前两者的混合条件,也叫洛平在选择近似函数吋,已经事先满足的边界条件为强制边界条件。而自然边界条件则是在将等效形式化为弱形式时包含在边界积分场上的边界条件。对于阶微分算子,含到阶导数的边界条件称为强制边界条件,近似函数应该事先满足。含到阶导数的边芥条件称为自然边芥条件,近似函数不必事先满足。对于给定的微分方程,判断其阶次,再依据边界所含导数阶数可区分两类边界。思考题泛函在什么条件下有极值?了解泛函是否有极值的意义何在? =且∏><,泛函极值性对于判断解的近似性质有意义,利用它可以对解的上下界做出估计。思考题什么是里兹法?通过它建立的求解方法有什么特点?里兹方法收敛性的定义是什么?收敛条件是什么? 里兹法:在某一函数空间寻找试探函数,利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化为该函数关于权值的极值问题。其特点是:试探函数是全域的,解的精度依赖于试探函数的选取,其收敛性有明确的结论。收敛性意义:当在∞维空间中选取试探函数,当试探函数的数目趋于∞时,利用里兹法得到的近祧解将收敛于精确解收敛条件:完备性,试探函数满足连续性思考题里兹法的优缺点?举例说明优点:理论简单,收敛性有严格的理论基础,得到的求解方程的系数矩阵是对称的,在场函数事先满足强制边界条件情况下,解具有上卜界性质缺点:当求解域的形状很不规则时候,里兹法所要找的试探函数难以满足全部的强制边界条件,这样会降低精度。另外,由于其是基于变分原理,对于没有等价泛函的问题无法处理。习题两端简支弹性基础上的梁受均不载荷。 ()选取满足边界条件的三角级数近似解=∑ 元 aII 丌+丌丌+丌 ()选取满足边界条件的幂级数近似鲜取一次 ∏ 精确解 ???,应该是三角级数更接近精确解。因为是最小位能原理建立的泛函,因此近似解比精确解要偏小。因此只要比较三角函数和幂函数的结果,就可以知道哪个更精确∫。另外,取不同的阶数,逼近速度不同,三角函数更快 (注意:只要满足强訇边界就可以,怎么判断是强制还是自然?) 习题 g [刚]-(1r 十欧拉方程:00 I自然边界:ayp I-T强制边终; 习题板弯曲问趟的平衡方程为: + () 位移边界条件加权余量法(事先满足强制边界条件=-,一=)得到等效积分形式: 分部积分得 =J6 0(6) 0 O()0 代入()化简,并利用可得最终结果(咯) J2 a 6)6 C aa a aa a +|d a()=[ 「,。vs=Jnv(6vv)92-「n(0v9 (Vv)9-∫。v()v)9+。( a(v a()=-6(-7 1a(可)叫 dv Q 验证结点三角形单元的位移差值函数满足 =6及++ 解 +++ ++ +十厚度=,弹性模量泊松比v=。试求差值函数矩阵应变矩阵,应力矩阵单元刚度矩阵,并验证的奇异性。坐标(, 解套用公式即可,注意计算的准确性。主应力: + 主方向二维单元在坐坠标内平面移到不同位置,单元刚度矩阵应力矩阵相同?旋转情况旋转度应力矩阵也是和相关。平移: 不变不变旋转: 改变, 改变度旋转:不变,取反讦明维拉格朗日单元的插值函数满足=的要求。结点维拉格朗日单元为次多项式。设5=∑5-,也为次多项式若5≠则由个根。在各个结点上有2=δ= 因此有个不同根。。与以上结果相矛盾利用构造变结点数单元插值函数的方法,构造图中结点单元的插值函数,并和利用构造维拉格朗日单元插值睬数方法得到的结果进行比较 n59 3 图3.27 解:结点边结点: 5+n修止 n +n 类似结点角结点: 利用构造变结点数单元插值函数的方法,构造图所示三次三角形单元的插值函数。

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