李亚普诺夫稳定性.pdf经过解密后的李雅普诺夫文档，比较详细地介绍了李雅普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性

文件名称: 李亚普诺夫稳定性.pdf

所属分类: 讲义

开发工具:

文件大小: 626kb

下载次数: 0

上传时间: 2019-09-03

提供者: weixin_********

下载 (626kb)

不能下载？报告错误

详细说明：经过解密后的李雅普诺夫文档，比较详细地介绍了李雅普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性第个轨迹都是渐近稳定的 (3)对所有的状态(状态空间中的所有点),如果由这些状态出发的轧迹都保持渐近稳定性,则平衡状态x=0称为人范围渐近稳定。或者说,如果系统(41)的平衡状态x=0渐近稳定的吸引域为整个状态空间,则称此吋系统的平衡状态x=0为大氾围渐近稳定的。显然, 大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个屮衡状态在控制工程问题中,总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的,那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域,这通常非常困难。然而,对所有的实际问题,如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域,以致扰动不会超过它就可以了 (4)如果平衡状态x=0既不是渐近稳定的,也不是稳定的,当时间t趋于无穷时,从x 出发的运动轨迹最终超越S(a,则称半衡状态x是不稳定的。李亚普诺夫稳定性的含义可以在二缃平面中直观表示出来,如图4.1所示,图4.1(a)、(b) 和(c)分别衣示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。在图4.1(a)、 (b)和(c)屮可以看到,域S(δ制约着初始状态x,而域S(ε)是起始于x的轨迹的边界。 X X (a)稳定 (b)渐进稳定 (c)不德定图41李亚普诺夫稳定性示意图参数δ、ξ的物理意义:ε是一个给定的稳定性指标,最终偏差小」它,则稳定;而δ则描述了稳定域的大小,即系统稳定的范围,或能忍受的最大干扰。当初始状态与平衡状态的偏差小于它时,则稳定。对于渐近稳定,实际上就是将稳定性指标取为ε=0,即要求系统最终状态完全回到平衡状态注意,由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域,因而除非S(a对应于整个状态平面,否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。此外,在图4.1(c)中,轨迹离丌了Sa),这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处,这是因为轨迹还可能趋于在S(ω外的某个极限环(如果线性定常系统是不稳定的,则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋」无穷远。但在非线性系统中,这一结论并不一定正确)。上述各定义的内容,对」理解木章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析,是最低限度的要求。注意,这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。实际上,在其他文献中还有另外的定义。对于线性系统,渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统,是否大范围渐近稳定需具体分析。现代控制理论最后指出,在经典控制理论中凵经学过的稳定性概念与 Lyapunovν意义下的稳定性概念是有一定的区别的。两者的区别在于经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在 Lyapυunov意义下是稳定的,但却不是渐近稳定的系统,则叫做不稳定系统。 42.3预备知识 (1)纯量两数的正定性。如果对所有在域Ω中的非零状态x≠0,有V(x)>0,且在x-0处有V(0)=0,则在域2(域 2包含状态空间的原点)内的纯量函数v(x)称为正定函数如果时变函数H(x,)由一个定常的正定函数作为下限,即存在一个正定函数(x),使得 V(x,t)>(x) 对所有t≥t0 V(0,t)=0, 对所有t≥t0 则称时变涵数(x,1)在域2(包含状态空间原点)内是正定的。 (2)纯量函数的负定性如果-V(x)是正定函数,则纯量函数V(x)称为负定函数。 (3)纯量函数的正半定性如果纯量函数(x)除了在原点以及某些状态下等于零外,在域内其他的所有状态都是正定的,则V(x)称为正半定纯量函数。 (4)纯量函数的负半定性。如果-(x)是正半定函数,则纯量函数(x)称为负半定函数 (5)纯量函数的不定性如果在域Ω内,不论域Ω多么小,V(x)既可为正值,也可为负值,则纯量函数(x)称为不定的纯量函数。例4.1本例给出按照以上分类的几种纯量函数。假设x为二维向量。 ①H(x)=x2+2x2 正定的 ②2r(x)=(x1+x2)2 正半定的 ③3(x)=x2-(3x1+2x2)2 负定的 ④(x)=x1x2+x2 不定的 ⑤(x)=x2+25 正定的 (6)二次型。建立在 Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中,有一类纯量函数起着很重要的作用,即二次型函数。例如 Pul p p(x)=xPx=[x1x2…xl21 P x PnPn2… plx 这里x为实向量,P为实对称矩阵。 82 李亚普诺夫稳定性第 (7)复二次型或赫米特( Hermite)型如果x是n维复向量,P为 Hermite矩阵,则该复二次型函数称为 Hermite型函数。例如 11P12 D Pnl pn 在状态空间的稳定性分析中,经常使用 Hermite型,而不使用二次型,这是因为 Hermite 型比二次型更具一般性(对」实向量κ和实对称矩阵P, Hermite型xPx等」二次型xPx) 二次型或者 Hermite型V(x)的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指出,二次型或 Hermite型r(x)为正定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式均为正值,即 P11P1 P1 pu p, >0 P P12 注意,而是P;的复共轭。对于二次型,=P 如果P是奇异矩阵,月它的所有主子行列式均非负,则V(x)=x2Px是正半定的。如果-V(x)是正定的,则v(x)是负定的。同样,如果-V(x)是正半定的,则(x)是负半定的。例42试证明下列二次型是正定的。 (x)=10x2+4x2+x3+2xx2-2x2x3-4x3 解二次型V(x)可写为 V(x)=xPx=[=, x2 11 4*2 利用赛尔维斯特准则,可得 101-2 10 10>0, 0,14-1|>0 因为矩阵P的所有上子行列式均为正值,所以(x)是正定的。 43 Lyapunov稳定性理论 1892年, Lyapuneσ提了两种方法(称为第ˆ法和第二法),用于桷定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性鎗一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤。基木思路是:求解系统的微分方程式,根据解的性质或特征方程的根的情况来判据稳定性。系统特征方程为负实数根或负实部的虚根,则系统稳定 83 现代控制理论对」非线性系统,只能根据在平衡点近似线性化的方程来研究。首先将非线性系统线性化,然后计算线性化方程的特征值,判定原非线性系统的稳定性。第二法不需求出微分方程的解,也就是说,采用 Lyapunov第二法,可以在不求出状态方程解的条件下,确定系统的稳定性。对于非线性系统和线性时变系统,求解状态方程通常十分难,所以这种方法显小出枚大的优越性。尽管采用Iyapυunoⅴ第法分析非线性系统的稳定性时,需要相当的经验和技巧,然而当其他方法尢效时,这种方法却能解决非线性系统的稳定性分析问题 43.1 Lyapunov第二法由力学经典理论可知,对于一个振动系统,当系统总能量(正定函数)连续减小(这意味着总能量对时问的导薮必然是负定的),直到平衡状态时为止,则振动系统是稳定的 Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的,其物理意义为:如果系统有一个渐近稳定的平衡状态,则当其运动到平衡状态的吸引域内时,系统存储的能量随着时间的增长而衰减,直到在平稳状态达到极小值为止然而对于一些纯数学系统,毕竟还没有一个准确定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难, Lyapunov引入了一个虚构的能量函数,称为 Lyapunov函数。当然,这个函数无疑比能量更为一般,并且其应用也更广泛。实际上,任一纯量函数只要满足 Lyapunov稳定性定理(见本节后文)的假设条件,都可作为 yapunov函数 Lyapunov函数与x,x2,…,xn和t有关,一般用v(x1,x2,…,xn,1)或者V(x,t)来表示。如果在 Lyapunov函数中不含时间t,则用(x,x2,…,x)或(x)表小。在 Lyapunov第二法直接根据V(x,4)和其对时间的导数r(x,)=d(x,l)/dr的定号性,判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不穩定性,而不必直接求出方程的解。因此既這用于线性系统,也适用于非线性系统。关于渐近稳定性可以证明:如果x为n维向量,且其纯量函数(x)正定,则满足 (x)=C 的状态x处于n维状态空间的封闭超曲面上,且至少处于原点附近,其中C是正常数。随着 x小→>∞,上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果C1∞时,有v(x,n)→∞,则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的例43考虑如下非线性系统 =x2-x1(x1+x2 x2=-x-x2(x1+x2) 显然原点(x=0,x2=0)是唯一的平衡状态。试确定其稳定性解选择存在一阶连续偏导数的 Lyapunov函数为显然正定。且 V(x)=2x1i+ x 显然是负定的。又因为|x→>∞时,显然(x,)→)∞。因此根据定理4.1,该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。若使(x)取一系列的常值0,C,C2…(0∞,(x)→>∞,所以这一簇圆可扩展到整个状态平面增六图42常数V圆和典型轨迹巾于圆(x)=Ck完全处在v(x)=Ck+1的内部,所以典型轨迹从外向里通过园的边界。因此 Lyapunov函数的几何意义可阐述为:V(x)衣示状态x到状态空间原点距离的种度量。如果原点与瞬时状态x(ω)之间的距离随t的增加而连续地减小(即v(x()<0),则x(t)→>0 定理4.1是 Lyapunov第二法的基木定理,下面对这一重要定理作几点说明。 (1)定理41仅给出了充分条件,也就是说,如果构造得到了合适的 Lyapunov两数 V(x,),那么系统是渐近稳定的。但如果未找到这样的 Lyapunov函数,并不能给出任何结论, 8 现代控制理论例如不能据此说该系统是不稳定的 (2)对于渐近稳定的平衡状态,则 Lyapunov函数必然存在 (3)对」非线性系统,通过构造某个具体的 Lyapunov函数,可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的,但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。 (4)对于线性系统,如果存在渐近稳定的屮衡状态,则它必定是大范围渐近稳定的 5)稳定性定理4.Ⅰ既适合于线性系统、非线性系统,也适合于定常系统、时变系统, 只有极其一般的普遍意义, 显然,定理4.1仍有一些限制条件,比如(x,)必须是负定函数。如果在v(x,)上附加个限制条件,即除了原点以外,沿任一轨迹V(x,)均不恒等于零,则要求r(x,t)负定的条件可用r(x,t)取负半定的条件来代替。定理4.2考虑如下非线性系统 ()=f(x(),t) 其中 f(0,t)≡0,对所有t=to 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数V(x,t),且满足以下条件: (1)r(x,t)是正定的 (2)(x,1)是负半定的 (3)[φ(;x0,(,对于任意和任意x≠0,在t≥t时,不恒等于零,其中的φ(t;x,4) 表示在1时从x出发的轨迹或解则在系统原点处的衡状态是渐近稳定的。进一步地,若当r→∞时,有(x,1)→, 则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的注意,若Ⅳ(x,t)不是负定的,而只是负半定的,则典型点的轨迹可能与某个特定曲面 (x,t)=C相切,然而由于p(:x,0)对任意o和任意x≠0,在t≥1时不恒等于零,所以典型点就不可能保持在切点处(在这点上,(x,t)=0),因而必然要运动到原点。、关于稳定性如果存在一个正定的纯量函数(x,1),使得r(x,t)始终为零,则系统可以保持在一个极限环上。在这种情况下,原点处的平衡状态称为在 Lyapunov意义下是稳定的。定理4.3考虑如下非线性系统 x()=f(x(),) 其中 f(0.1)=0,对所有1≥ 若存在具有连续阶偏导数的纯量函数V(x,t),且满足以下条件 (1)V(x,)是正定的 (2)V(x,)是负半定的 (3)T[中(;x0,(0)!对于任意4和任意x≠0,在t≥b时,均恒等于零,其中的中(t;x,) 表示在时从x0出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是 Lyapunov意义下的稳定的,但不是渐近稳定。这时系统可 86 李亚普诺夫稳定性第保持在一个稳定的等嗝振荡状态下关于不稳定性如果系统平衡状态x=0是不稳定的,则存在纯量函数r(x,t),可用其确定平衡状态的不稳定性。下面介纽不稳定性定理。定理4.4考虑如下非线性系统 ()=f(x(1),) 其中 f(0.1)=0,对所有t≥ 若行在具有连续阶偏导数的纯量函数V(x,),且满足以下条件 (1)V(x,1)在原点附近的某一邻域内是正定的 (2)r(x,1)在同样的邻域内是正定的。则原点处的平衡状态是不稳定的。 4.3.2非线性系统的稳定性在线性定常系统中,若平衡状态是局部渐近稳定的,则它是大范围渐近稳定的,然而在非线性系统中,不是人范闱渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稔定的。因此,线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性,则非线性系统的线性化模型稳定性分析远远不够。必须矶究没有线性化的非线性系统。有几种基于 Lyapunov第二法的方法可达到这目的,包括用于判新非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基( Krasovsky)方法、用于」构成非线性系统 Lyapunovⅴ函薮的舒茨一基布逊( Schultz- Gibson)变量梯度法、用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶(Luie)法,以及用于构成吸引域的波波夫方法等。下面仅讨论克拉索夫期基方法。在非线性系统屮,可能存在多个平衡状态。可通过适当的坐标变换,将所要研究的平復状态变换到状态空间的原点。所以,可把要研究的平衡状态取为原点。克拉索夫斯基方法给出了非线性系统平衡状态渐近稳定的充分条件。现介绍克拉索大斯基定理。定理4.5(克拉索夫斯基定理)考虑如下非线性系统 x=/(x) 其中x为n维状态向量,f(x)为x,x2,…,xn的非线性n维向量函数,假定f(0)=0, 且f(x)对x1可微(i=1,2,…,n) 该系统的雅可比矩阵定义为 af af af X O f2o/2 f F(x)a(x1,", n) Ox ox2 C of of 0x1 87 现代控制理论又定义 F (x)=F(x)+F(x) 其中F(x)是雅可比矩阵,PH(x)是F(x)的共轭转置矩阵(如果f(x)为实向量,则F(x)是实矩阵,且可将F1(x)写为F(x),此时F(x)显然为 Hermite矩阵(如果F(x)为实矩阵,则P(x) 为实对称矩阵)。如果 Hermite矩阵F(x)是负定的,则平衡状态x0是澌近稳定的。该系统的 Lyapunov函数为 v(x)=f" (x)f(x) 此外,若随着|→>∞,f(x)(x)→>∞,则平衡状态是大范围渐近稳定的。证明由于F(x)是负定的,所以除x=0外,F(x)的行列式处处不为零。因而,在整个状态空间中,除x=0这一点外,没有其他平衡状态,即在x≠0时,f(x)≠0。因为f(0)=0, 在x≠0时,f(x)≠0,且V(x)=f(x)f(x),所以(x)是正定的。注意到 f(x)=F(r)i=F(x)f(x) 因此 y(x)=f(x)f(x)+f(x)f(x) [(xf(r)f(r)+f(xF(x)f(r) (xF(x)+F(x)lf(x) =f(x)(x)(x) 因为F(x)是负定的,所以F(x)也是负定的。则根据定理4.1可知,原点是渐近稳定的。如果随着|x→∞,(x)=f(x)f(x)→∞,平衡状态是大范围渐近稳定的。注意,克拉索夫斯基定理与通常的线性方法不同,它不局限于稍稍偏离半衡状态。V(x)和 (x)以f(x)或x的形式而个是以x的形式表小定理对于非线性系统给出了大范围渐近稳定性的充分条件。但非线性系统的平衡状态即使不满足上述定理所要求的条件,也可能是稳定的。因此,在应用克拉索大斯基定理时,必须十分小心,以防止对给定的非线性系统平衡状态的稳定性分析做岀错误的结论例44考虑具有两个非线性因素的二阶系统 =f(x)+2(x2) x + ar 假设f(0)=2O)=0,f(x)和f(x2)是实函数且可微。又假定当x→∞时, f(x1)+1(x2)2+(x+ax2)2→∞。试确定使平衡状态x=0渐近稳定的条件。解在该系统中,F(x)为 f(x1)f2( F(x)= 其中 f(x, af1 f(r,)=22

(系统自动生成,下载前可以参看下载内容)