文件名称:
微积分和数学分析引论第二卷第三分册.pdf
开发工具:
文件大小: 24mb
下载次数: 0
上传时间: 2019-07-22
详细说明：
微积分和数学分析引论第二卷第三分册a第一变分等于零(846)习题72a(847)b欧拉微分方程的推
导(847)c基本引理的证明(851)d一些特殊情形的欧拉微分
方程的解.例子(852)习题72d(855)c欧拉表达式恒等于零
的情形(856)
7.3推广
…857
具有多于一个自变函数的积分(857)b例子(859)习题73
(861)c哈密尔顿原理。拉格朗日方程(861)d含高阶导数的
积分(863)多自变量(864)
74含附带条件的问题。拉格朗日乘子
e●鲁鲁鲁
…866
a.通常的附带条件(866)习题74a(868)b其他类型的附带
条件(869)习题74b(870)
第八章单复变函数…
872
81幂级数表示的复函数
872
极限.复数项的无穷级数(872)b幂级数(875)c幂级数的
微分法和积分法(876)d幂级数的例子(879)
82单复变函数一般理论的基础
880
a可微性条件(880)b微分学的最简单运算(883)c保角变换
反函数(886)
83解析函数的积分…
887
积分的定义(887)b柯西定理(889)c应用.对数函数指数
函数及一般幂函数(81)
84柯西公式及其应用
。●··●b·自ψ音··非·命鲁●●●
895
a柯西公式(895)b.解析函数的幂级数展式(896)c函数论与
位势理论(899)d柯西定理的逆定理(899)c解析函数的零
点,极点和留数(900)…
85留数定理对复积分(围道积分)的应用……
902
a证明公式(902)b证明公式(903)c留数定理对于有理函数
的积分的应用(904)d留数定理与常系数微分方程(907)
86多值函数与解析开拓…
908
问题(8,1-85)(912)
解-……
921
第六章微分方程
在第一卷第九章中,我们已经讨论过特殊形状的微分方程
在本书的范围内,虽然我们不可能试图详细地展开它的一般理论,
但是,在这一章中,我们从力学中的进一步的例子出发,运用多元
函数微积分,至少也能给出微分方程这个课题某些原理的一个梗
概
61空间质点运动的微分方程
a.运动方程
在第一卷(第四章第421-447页)中,我们讨论了限定在
y平面内移动的质点的运动。现在我们去掉这一限制,考虑一集
中于坐标为(x3y,)的点上的质量m。从原点到该质点的定位向
量具有分量x2y,我们记之为R.如果能把(x,yz)或R表成
时间t的函数,那么,质点的运动就在数学上得到了表示。同以前
样,如果用圆点标记关于时间t的微商,那么长度为
√x2+y2+2
的向量R一(÷,y)表示速度向量R=(,2)表示质点的加
速度
确定运动的基本工具是牛顿第一定律,即加速度向量R与
质量m的乘积等于作用在质点上的力F一(X,YZ):
r=F
(2a)
或,用分量式,
1)"Mutationem motuo propottionalem esse vi mofrici impressae, et
fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimatur”(即,运动之变
化与作用力成比例,且发生在沿力的作用直线的方向上)
765
m予=Ⅹ
Y
2b)
只要给出关于力F的充分信息,这些关系式就能用来决定运
动
一个例子是地球表面附近的表示重力的恒力场。如果取重力
作用方向为x轴的负方向,则重力可表为向量
F==(0,0,-mg)a-mg grada),
3)
其中g是重力加速度常数(见第一卷第422页)
另一个例子是,集中于坐标系原点上的质量按照牛顿万有
引力定律产生的吸引力场(见第一卷第437页).如果
+y2十x2=|R
是质量为m的质点(x,”,z)与原点的距离则力场可表示成
umr gr
4
其中γ是万有引力常数,在这种情况下,牛顿运动定律(2a)表
为
R
urge
或,用分量式,
x
2
一般说来,如果F是分量为位置的已知函数X(x,yxz),
Y(x,y,z),z(x,y,z)的力场,则运动方程
mi=X(x,y, z),my= Y(x,y, ]), mi= Z(x, y, 2) (5)
构成关于三个未知函数x(t),y(t),x(t)的三个微分方程的系统
质点力学的基本问题是:当运动开始时(比如说,在时间t=0)
已知质点的位置(即坐标x=x(0),y=y(0),z〓z(0))和
初速度(即量一米0),外〓y(0)。动=0),从微分方程去
确定质点的轨道。寻求既满足这些初条件,又对所有t值满足三
个微分方程的三个函数的问题就是通常所谓的微分方程组的求解
I)向量mR称为动量所以牛顿定律说的是“力等于动量的变化率”
·766
或积分°题。
b.能量守恒原速
速度向量R与质点运动方程(2a)作数量积
mR.R=F·=Xx+Yy+z
(6a)
可得出一个重要结果.上式左端可写成
r.R
(65b)
Y
即质点的动能(运动能)mv2对时间的导数。关于r从l到h积
分方程(6a)我们得到在40到4时间间隔内质点动能的改变量是
1
X十Y
dy
d:
Z
1E
(6c)
2
dt
de
=(xdx+ ydy+ Zdz),
其中线积分展布于质点从t到41经过的路径上.有向弧上的
积分
Xdx Ydy + Zdx
称为沿该弧运动时力F一(KY。Z)所作的功。因此,(6c)称
为能量方程:动能的增加等于在运动中外力所作的功
如果力场能表成某函数的梯度,即
gradφ
在这种重要情形下,微分形式
Xdx+Ywy+zdz=的
的积分不依赖于路径,仅依赖于路径的起点和终点(见第96页)
按照 Helmholz(海姆霍兹)的说法,(7a)类型的力场称为保守
1)由于解微分方程可认为是通常积分过程的一般化,因而在这里用积分一词
Z)见第一卷第44页,引入弧长:作参数线积分有形式
dr
d
因而它等于力沿运动方向的分量与距离乘积的和的极限
767
场。对保守场,用U=一φ引人势能(位能)U。则运动方程的形
状是
R
grac
或,用分量式
m2=-Ux:my=一Uym2
(7b)
势能作为位置(x:y3z)的函数,在相差一个任意常数的范围内,
是由力场所确定的.我们得到保守力在运动中所作的功为
Xdxf rdt zdz
du =uo-U
其中U和U1分别是质点在时刻o和4的位置上的势能的值
与(6c)比较得到
mvi +U2=mva+ Uo
2
因此在运动中量m2+U在任何时刻l和h有相同的值无
须作这些概念的物理解释,我们已经得到了保守力场中质点的能
量守恒定律的一种形式
总能量—一即,动能mu2与势能U之和—在运动中保持常
数。
在下节的例题里,我们演示这个定理怎样用于运动方程的实
际求解
由方程(3)和(4a)定义的两个力场都是保守场.在均匀重力
场(3)中,运动方程化简为
8a)
很简单,它们的通解是
1十a2,yb1t十b25
gt2+cut+
(8b)
显然,这里常数(a23b2c2)给出质点在时间t=0的初位置,常数
(a1,b4c)给出初速度,由方程(8b)以时间t作为参数给出
的质点轨迹,是其轴平行于2轴的一条抛物线。由于力场是
I)“保守一词源出于我们马上将要推出的能量守恒定理
768
mg grad 2,势能应是U=mgz+常数.U的变化与高度x
的变化成比例.因而,能量守恒定律的形式为
mgz=常数=-mv+mgz
(8c)
a十b+c)mgc
所以,在轨道的最高点处速度最小
代替质点的自由降落我们考虑在重力场F=- mg grad a的
影响下,约束于曲面x=f(xy)之上,且反作用力垂直于该曲面
的质点的运动。由于反作用力在运动方向上没有分力,因而不作
功,在运动中所作的功是保守重力场作的功。因此,可得出与自由
落体一样的能量方程
my2+mgz=常数
(9)
区别仅在于现在z=f(x,y)是坐标x,y的一个给定的函数
c平衡。稳定性
保守力场中质点的运动方程
mmR
gradu
(10a)
能用于讨论平衡位置附近的运动。如果质点保持静止,我们称它
在力场的影响下平衡.为使质点平衡,在考虑的整个时间间隔里
它的速度和加速度必须都是0.因此,运动方程(10a)引出
gradU 0
(10b)
或
(10c)
是平衡的必要条件。从而,一个平衡位置(x03y。,z)必是势能U
的,个临界点.反之,因为常数向量
R=(x0。y0xa)
显然满足(10a),所以,U的每一临界点(xa3y3)都是静止的一个
)球面摆提供了一个例子在那里,一个质点被约束在一球面上运动.试与第
卷第429页讨论过的曲线上的运动进行比较
769
可能的位置
特别重要的是平衡的稳定性概念。稳定性是指:如果给平衡
状态以轻微的扰动,由此产生的整个运动与静止状态仅有微小的
区别更确切地说就是,设r1和v是任意正数,我们能找到与
r1和v1对应的如此之小的两个正数rvo,使得只要质点离开平
衡位置移动的距离不大于r,且出发时的速度不大于v那么在
它整个后继的运动中它与平衡点的距离永远不能大于r及速度
永远不能大于v
特别有趣的是,在势能取严格相对最小值(相对最小值即极
小值——译者注)的点上,平衡是稳定的值得注意的是,我们无须
实际解出运动方程就能证明关于稳定性的这个命题。为简单起
见,假设考虑的平衡位置是原点(借助变换总是能作到的),此外,
因为势能允许加上一个任意常数,故我们可假定U(0,0,0)=0
由于U在原点是严格相对最小值我们能找到正数r0,因此,
U在球面上的最小值是一正数a因为U连续,我们可求得r
(系统自动生成,下载前可以参看下载内容)
下载文件列表
相关说明
- 本站资源为会员上传分享交流与学习,如有侵犯您的权益,请联系我们删除.
- 本站是交换下载平台，提供交流渠道，下载内容来自于网络，除下载问题外，其它问题请自行百度。
- 本站已设置防盗链，请勿用迅雷、QQ旋风等多线程下载软件下载资源，下载后用WinRAR最新版进行解压.
- 如果您发现内容无法下载，请稍后再次尝试；或者到消费记录里找到下载记录反馈给我们.
- 下载后发现下载的内容跟说明不相乎，请到消费记录里找到下载记录反馈给我们，经确认后退回积分.
- 如下载前有疑问，可以通过点击"提供者"的名字，查看对方的联系方式，联系对方咨询.
