数学分析第二册何琛史济怀徐森林.pdf数学分析第二册何琛史济怀徐森林第五章R2中的拓扑知

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详细说明：数学分析第二册何琛史济怀徐森林第五章R2中的拓扑知识第一节集合和映射 L1集合运算和欧氐空间我们在第册的开头已经提出了“集合”的概念和表示方法这里就不再重复.集合与集合是可以作运算的.在定义集合运算之前,我们先回顾一下集合关系“c”和“=”的意义。若A,B是两个集合,AB意指,若a∈A,则a∈B.联 ∈A=>a∈B 也就是A中的元来均是B中的元素,A=B意指,若a∈A,则a∈B, 且反之亦然.即 4≤→g∈B 若ACB,但A≠B,则A是B的“真子集” 关系“c”显然具有下列性质 1°ACA(自反性) 2°ACB,BCA=→>A=B(反对称性) 3°ACB,BCC-→>AcO(传递性) 在逖些性质中,我们常常要用性质2°來证明两个集合相等下面我们来介绍集合运算定义】设A和B是两个集合,则AUB是一个集合,是A和 B两集中全体元秦所成之集(图1), 町AUB={n:c∈A或(B, 纠傚A和B献并集这个瓶念自然可以推广到任意多个集合.设A,A2,…都是集合,则定义 t42b…∪ {x:x∈A;对某成立} UA:=4, UA2 h ={:盆∈A;对某个自然数x成立} 般地,若Ⅰ是一个集合,如果对于每一个a∈相应有个集合 a,则定义 UA={x:x∈A对某个a成立显然 A∪BBUA, A∪A一A AUC--4 AU (DUC)-(AUBUC-AUBUC ∪B-A0} 实∈配:需真E2 ∈R:f(x)>0} U{ae:∫(x)>1 AnB A {x∈R:f(x)>a 图2 定义2设A和B是两个集合,则A∩B是一个集合,是A和 B两集的全体公共元素听成之集(图2),即 A∩B…{a:a4和a∈B}, 叫A和B的交蕖.A∩B=C,即A和B无公共元素,则称 A和B不相变,同样定义 A={a:x∈A对一切∝Ⅰ成立显然 A∩B=B∩A A∩ A∩= A∩(B0O)=(A门B)自0=1∩B∩ A∩(BC)=(A∩B)U(4∩O), A自BcA A4∩BA4<->AcB 例2看几个例子: [0,2]∩[1,3]=[1,2] 0,2二∩(Q,1)(0,1) x,?):亚<2,3<1}={(x,y):x<2}∩(x,3):g<1} {0}=∩ 箕·共必, 2∈E:f(2)=0)=∩2∈E:f(x)<先 {x∈R:|f(x)}4cB 较为重要的是下列二式 AcB<→>AP→B A∪B-Au(B∩A) 图4).最后一式表示,任意二集之并可以表示为两个不相交的集合之并定理(对偶律, DE MOrgan律) (4B)°=A°B (1∩B)2°-4°B° U A c 证明证第三个等代, z∈〔∪4)<→>ze∪A>rA4对一切成立 >x4对一切I成立 x∈∩ 同理可证明其余三个等式日定义4设有集合A和B.在A中取一元素a放在第一个位置上,在B中取一个元素b放在第二个位置上,得一有序的元素对 a,b).全体这种元素对所成之集记为AxB,叫A和B的Car tesIOn积,耵 A×B={(a,b):a∈A,b∈B} 例4若A-={a,b:c},B-{a,月},则 A×B={(a.a),(b,a),(c;),(a,月),(b,B),(e,B)} 又如 [0.1×[0,1={(x,y):0≤≤10≤3≤1} 今后我们记 R2=xE={(x,y):x∈B,y∈B} P=RXRXR-i(a, 1, 2): W,1, ZER) R×…×={( C配,=1 我们看到2中的元素(x,y)就是平面坐标系中的点,R3中的元素(x,,z)就是空间坐标系中的点,我们也把这种点记成p x3)和p÷(,3,x).平面和空间中的点也就是“向量”,它们有下列运算: 1°若p:=(x:,1,21),p2=(22,22),则 p1+p2-(盆1十x2,3+打2z1十x2) 2若p=(a,3,2),C∈L,则 P=(cu, cg, c2) 3°记 p:·p2=<卩: 叫做P1和p2的“内积”或“点乘”,又记 :P +y2 叫做向量P的“范数”或“模”,即p的长度(D点到原点的距离) 在E(或配2)中引进了上述运算以后,R3便叫做“三维欧氏空间特别记 i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1) 这是华标铀上三个相互正交的单位向量,于是,低一向量p=(x, y,x)可以表示为印=x}+3j十zk, 在3中还可以定义“外积”或“又乘 p1Xp2-[12p2] JI 以上这些运算的几何意义大家都早已熟悉,这里不再赞述这些运算(除外积外〕也可依样推广到E中.记R中的点 (向量)为x=(x1,…,xn),定义 x十!=(x1,…,cn)十(n 2y 〔x1十31,…,n+yn), cx=c(x1.…,n)=(cx1,…,￠n), 共中e∈R.又 ==131-+xay 叫做向量x和的“内积”或“点乘”,这是一个数.又数 < 2++22 叫儆向量x的“范数”,引进了这些运算以后,Rn便叫做“第维欧氏空间”.多元微积分就是在二维、三维和n维欧氏间中研究微分和积分问题的在维欧氏空间P中我们可以选出个相互正交的单位向量已 0,…0)2e2=(0,1,0,…,0), 0.1 则Bn中的一切向量可以表示为 x=x;e:+…+cne2 关于内积和范数有以下关系式 a, 1 y,> Cz,y>=c,C∈, z+,x>=≤蛋,2>÷ 2 0 x-「e|ax!,c≤配. 「2+y】≤+‖ 1) 图5 最后这个不擎式叫做“三角形不等式”,它的几何怠义是三角形两边之和大于第三边(图5).这个不等式欢源于 Schwarz不等式」x,|≤2z (2) 除了向量汜数以外,今后我们还需要矩阵范数,设有矩阵 E升我们定义 A iis 叫做矩阵A的“范数”.矩阵范数的定义方法实陈上就是把矩阵A 看作巛维向量,因此向量范数的基本性质对矩阵范数都成立:设 A和B同为mxa阶矩阵,则 4≥0;"A=0<>A=0 eA!=;|e]A‖:c∈B. AB≤A1+1B 此外,若A为m×m阶矩阵,B为n×阶矩阵,则 1AB≤4‖B! (4) 事实上:设A中的行向量为a1,…,an,B中的列向量为b2,…, 6.由 Schwarz不等式(2), AB="(a,b)=√∑∑ab i一1 s√>>a1b1=y>|a√Sb 41B" 最后指出,以后在作矩阵痉算时,我们经常把配中的点同时也表为列回量并且把列向量和行向量都看作矩阵来运算,请读者注意上面这些知识我们假定读者都是已知的,提出来只不过是为统一语言和符号罢了.下面我们再国到集合运算定义5设DcA×B,aA.记

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