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详细说明：本资源是国科大阵列信号处理课程考试的一套题，附有当时考生的个人完整答案总结在误差(协方差矩阵估计精度受样本数目的限制),会影响波束形成器的性能。随着快拍数增加,波束形成器性能逐渐趋向于波束形戊器。数据样本中不存在期望信号时,要保证波束输出比最优情况下损失在以内,样本快拍数大约需要大于2M。数据样本中期望信号越大,波束形成器的性能下降约严重。如下图所示,假设M=2 泼束形成器加权向量为 WMVDR=a924,主要考虑以下几种情况:只有空间白噪声时,Rx=1 波束形成器蜕化为常规波東形成器。存在白噪声情况下,只有期望信号且导向向量无误差时, 波束形成器蜕化为常规波束形成器。有期望信号,也存在干扰,则wvDR与干扰垂直,如所示。当噪声为非白噪声,即有方向性时,则wwDR与非白噪声垂直。信号导向向量存在误差时, 波束形成器为使输出噪声功率最小,会误把真实信号当做干扰,从而在真实信号方向形成凹槽,即为满足 W·a。=1,wMw·as=0,wMDR会变得非常大,如所示, 波束形成器稳健性变差为满足WWDR·a=1 a-0 WMVDR WMVDE须非常大,稳性变差 WmDk满足wMR:a=1 误把真实信号当做干扰讲行抑t DR 期望a 期望a 干扰 (a)导向向量大误差 (b)导问可量存在误差 5.如何提高MwDR波束形成器的稳健性,有哪些方法,其原理是什么,各种方法有何优缺点【分析】: 提高MWDR波束形成器稳健性的方法主要是对角加载类方法,包括对角加载(LSMI) 加权向量范数约東(NCB)、最差性能最佳化(WCPO)、协方差矩阵拟合(RCB)与双约束 ( DCRCB)等5种稳健自适应波束形成方法。 SMI:对数据样木协方差进行对角加载,加权向量为wsM=c(R+41)1as,λ很大则降低了波束旁瓣,稳健性提扃,但其抑制干扰的能力减弱。当对角加载量λ=0时,LSMI 方法蜕化为SMI方法,当对角加载量λ→∞时,它蜕化为常规时延求和波束形成。即通过调节对角加载量λ的大小,可以在波束形成与常规波束形成之间进行折中,也就是在阵增益和稳健性之间进行折中。对角加载量越大, 波束形成器的稳健性越强,但同时其潜在的十扰能力减弱。但由于在实际屮噪声功率本身难以佔计,对角加载量难以确定。再者,输入过大时, 波束输出性能下降也狡大。 NCCB:NCCB波束形成器从约束加权向量范数(|w‖2=30)的角度来提高稳健性。加校向量范薮约束值越小(最小极限是)1/M,NCCB稳健性越强。其加权向量wcB a(+102a,属于对角加我技术,但XCB波束形成器中的对角加数量可以通过加权向量范数约束量来确定,即ww=(0,比LSHI直接选取方便些。范数约束值。越小,对角加载量 λ越大。与不同的是,对角加载量λ与输入有关。越大,对角加载量λ越大(波東形成器越稳健),这一变化趋势正好顺应了波東形成器的稳健性要求。但是NCCB方法中加杈向量范数约東值也是只能凭经验选取,仍昍没有严格的解析解或数值解,其性能也没能达到最优 WCPO:在WP0方法中,认为假想的信号导向向量与真实导向向量之间的误差范数存在上限且已知,即真实导向向量位于一个已知的椭圆不确定集S仝{ asla=as+ae,‖lal≤ e}内。WCPO方法的设计准则是:对于任意的位于该不确定集内的导向向量,使最差情况下的输出SIR最大化。WCPO方法也属于对角加载炎方法。只要导向向量误差范数上限已知, 就能够求出该准则下的波束加权向量,这就克服」LSMⅠ方法中对角加载量难以确定的凼难。WCPO方法不仅对导向向量误差具有稳健性,也能提高它对有限快拍引起的协方差矩阵误差的稳健性。 RCB:RCB方法假设真实导向向量a位于一个已知的椭圆不确定集SA{as|as=as+ ae,lal≤e,通过协方差矩阵拟合(R-a2a3a≥0)估计出最佳的导向向量as,进而 (R+1/A)-as 进行信号源功率估计2,求解加权向量RCB=a(R+-1)1R(R+A1)1a。RCB方法可以通过简单的牛顿迭代法求解最优的对角加载量。考虑到对于仼意的标量α>0,(σ2,a)与 (σ2/a,a12a)产生同样的a2a值,这预示着对」真实的导向向量a,如果a1/2a也属于不确定集S,目标函数max2将会选择(a2/a,a1/2a)作为信号功率与导向向量的估计值,而不是 σ2,a),这就会造成信号功率过估计。为了解决“比例模糊”造成的信号功率估计误差问题, 可以将估计的导向向量进行归一化。不过归一化后的导向向量不一定仍位」导向向量不确定集S内。 DCRCB: DCRCB方法就是在RCB方法的基础上增加了导向向量范数约束,解决了“比例模糊”造成的信号功率估计误差问题,且保证佔计岀的导向向量仍位于该导冋向量不确定集(|a。-as‖≤c0)内。在 DCRCB方法中导向向量被认为位于吏小的椭圆不确定集内, 因此在选择ε0时,它比方法中的值小。总体而言, 方法的性能畩仍于总体而言,RCB方法与 DCRCB方法在估计信号源功率与输出SINR性能方面优于其他方法,NCCB与ISMI方法在不冋情况下性能不同。 DCRCB法的波束图稳健性方面最优,能保持较好的波束主瓣形状,RCB方法略次之,NCB与LSMI方法各有长短。在参数选择方面, LSMⅠ方法对角加载量难以确定,NCCB方法稍好,RCB与 DCRCB方法具有完整的数学基础, 参数确定容易些。 6.列举几种窗函数法波束设计方法及其特点,说明切比雪夫波束形成器性能特点,以及如何调整波束方向? 【分析】窗函数法:窗函数主要有均匀加权、余弦窗加权、 Hanning窗加权与 Hamming窗加权。后三和加权方法的波束图旁瓣都比均匀加权低,但同时主瓣宽度变宽。比较 Hanning窗加权与 Hamming窗加权,两种方法的零点间束宽BWN相同,但后者的半功率束宽BW-3dg比前者窄,且最高旁瓣比前者低,如下图所小。 4 Lnitor Cosine anning Hanning 方位( 米用窗函数法,可以设计出较低旁瓣的波束形成器。但是窗函数法只适合于规则阵型的基阵,大多只适合于均匀线列阵,而且要求各阵元各向同性且阵元间不存在差异,否则波束图也会发生扭曲。 Dolph- Chebyshev加权法:对于半波长均匀间隔线列阵,在所有波束形成加权方法中 Dolph- Cheby sheⅴ加权在给定主瓣宽度时可获得最低的均匀旁瓣,或者在给定旁瓣级时能获得最窄的波束上瓣宽度,即可得到上瓣宽度与旁瓣级之间的最佳折中,但当均匀线列阵的阵元间距小于半波长时, Dolph- Chebyshev加权并不能得到主瓣宽度与旁瓣级之间的最佳折中。波束指向调整:将窗函数写成向量的形式wa=[w1,…,Wm,…,wJ,该加权向量得到的波束主瓣指向为0°方向。若要使波束主瓣指向其他方向,需要在幅度加权的基础上附加一定的相移。例如需要波束指向为θ方向,则对应加权向量调整为w= whoa。其中 a、=a(6)表示基阵在θ方向的响应向量。 7.列举几种控制波束旁瓣和槽的方法,说明其原理并对优缺点进行分析。【分析】凹槽噪声法(olen法):根据自适应阵原理,自适应波束图在干扰方向形成凹槽,干扰强度越大,凹槽越深。实现方法是在旁瓣区域认为放置若干虚拟源,并运用自适应阵原理, 釆用迭代法调整噪声源的强度,达到控制波束旁瓣峰值的目的。该方法的缺点是迭代步长难以选择,不能保证旁瓣得到严格的控制,且由丁迭代过程中对主瓣宽度没有约束,容易造成主瓣较快增宽。在给定旁瓣级的条件下并不能保证获得最窄的主瓣宽度。此外该方法没有考虑旁瓣控制产生的副作用,如对阵增益与稳健性造成的影响。干扰方位扩展法:在干扰方向自动形成零点,通过假想在干扰附近存在方位打展的多个干扰源,自适应波束形成方法自动在扩展源扇面形成凹槽,故而扩展了零点宽度。上要实现方法是将点源干扰改成扩展源后的协方差矩阵,用它代替点源情况的协方差矩阵,然后代入WVDR波束形成方法,得到的波束图具有扩展的零点宽度。其缺点是由于将点源干扰改成扇面扩展源后,干扰簇中的单个干扰功率下烽,岺点展宽的同时凹槽深度变浅。频带扩展法:用具有矩肜窗频谱的带通干扰来代替窄带干扰,带通干扰中心频率与原干扰中心频率相同。最低旁瓣波束约束法(S0 CP-MSL法):属于二阶锥规划的波束伉化设计方法,能够在波朿旁瓣级、稳健性与阵増益笭各性能指标之间寻找最佳折中,在此不作分析。 8.详细推导M元均匀线列阵的波束响应p()的解析表达式。(定义线阵法线方向为°,波東方向为【分析】信号传播方向的单位向量为 v(0)=-[singcoso, sinsing] [cosi, sing]T [cose, sin ],BE0,8=[900,901 各阵元的位置向量为 m-1 pm 1,…,M 则阵列流形向量 )=exp(jk pi),, exp(-jkTpm),, exp(-jkTpm) 其中 exp(-jkTpm)=exp(- MvT(0)Pm asine cxp[i(m-1)TSing 所以阵列流形向量为 a(8)=l1, exp (irsinA),., expG(M-1)sing) 期望方向为时的阵列流形向量为 a(Bo)=[1, exp gjTsin0o), ., exp ((M-1IsinBo)T 则窄带常规波束形成器的加权向量为 w=o=-[1, exp Gjrsin o), ., exp((M-1)sinBo)IT 基阵在各方向上的波束响应为 P()=wa(e)=tXm-1expl(m-1)( sine-sinOo) 其中6∈,=[-90°,909]。记sn- sineo=τ,则 M xp(m- 1)TT] 1 1-exp(MTt M 1-expoTt pg-t exp )-exp(-i MTC (M-1)πnsin(2) 2 CT) sin [(sin e-sineo) M expl sine-sineoI sin[sine-sineo) 9.宽带波束形成器有几种实现方法,它们之间有何联系,各有何优缺点? 【分析】宽带波束形成器包括基于离散傅里叶变换(DFT)的频域实现方法与基于有限冲激响应(FIR)滤波器的时域实现方法。频率DFT波束形成:频率D波束形成是分段处理,数据变换到频域后,只取出有限个自带进行波束形成,这相当于在频域进行了加窗处理,或者相当于在时域进行了带通滤波。由于滤波器建立时间的原因,导致DFT波柬输出时间序列的前面部分产生误差。于是, 各段波束输出序列组合成时域数据时,在各段数据之间出现了“绉合”不流畅的现象,就好像引入了周期性干扰。另外,DFT形成属于分块处理,这造成单次处理数据块中各阵元数据频谱特性存在(细微差别),因而使波束形成产生误差。 FIR时域波束形成:时域FIR波束形成器是让每一个传感器通道通过一个延时线滤波器,然后对各滤波器输出求和得到宽带波束输岀时间序列。该方法是连续处理,不存在波束输出不流畅的现象,波束输岀时域波形比D波束肜成器的保真度高。当DT波束形戊器与FIR波束形成器最近输出样本相等时,IR波束形成器各通道FIR 滤波器系数hm与DFT波束形成器加权系数wm()具有傅里叶变换对关系,即在IR波束形成器中,某阵元在某频率的等效频域加权值等于该阵元对应的FIR滤波器在该频率的响应。基于该关系,如果要设计FR波束形成器,可以先在频域计算各了带加杖向量,然后由频域加权向量与时域FI滤波器系数的傅里叶变换对关系计算各通道『IR滤波器系数。 10.宽带波束形成器分布优化法和联合优化法有何区别与优缺点? 【分析】分布设计法:FIR波束形成器改计问题分为」带波束形成尜改计与FIR滤波器设计两步来进行。其设计思路是:先将处理频带划分为多个窄带了带,针对每个窄带进行波束优化设计。再针对每个阵元设计出『IR滤波器,使该FIR滤波器的频率响应逼近于该阵元各频率复加权值,从而可获得FIR波束形成器。优点:在分布设计法中,各通道预延迟是采样周期整数倍Tm=- -[t(0)/rs]Ts 可以采用数字延迟实现。这样就癌免了在 Frost波束形成器中为了实现小数延迟所需要采用的昂贵的机械或电子延迟器件。因此分布设计汯设计简便,计算量小。缺点:虽然两个步骤都能获得单独设计问题的最优解,但不能保讧最后综合的结果是仝局最优的。例如εFIR滤波器阻带衰减量难以确定,在阻带与过渡带的波束旁瓣难以控制,FTR滤波器不可避兔的设计误差导致波束凹槽深度变浅。联合优化法:将FIR波束形成器的宽带波束响应表述成滤波器系数的函数,通过构造优化问题,直接针对优化问题求解滤波器系数。优点:(i)在设计恒定主瓣响应FIR波束形成器是,采用联合优化法可以克服分布设计法难以控制空、频域旁瓣的缺点,可以保证获得满足约束条件卜的全局最优解。该方法得到的FIR波束形成器主瓣响应逼近精度更高,且能保证严格控制宽带波束的空、频域旁瓣。(i)采用旁瓣控制宽带FIR自适应波束形成方法,可以克服分布设计法中由于IR滤波器设计误差使波朿对干扰的門槽深度变浅的鈥点。该方法能够保证波束旁瓣严格低于设定门限,在干扰方向形成足够深的凹槽。缺点:联合优化法的计算量较大。此外,恒定主瓣响应FIR波束形成器需要预先选择期望主瓣响应,然后再使设计波束主瓣响应逼近于该期望响应。 11.MSIC方位估计方法与MvDR波束扫描方位谱有何区别【分析】 MVDR方位谱:MWDR波束形成器的设计原理就是让它对感兴趣方位的信号无失真输出而使波束输出噪声方差最小,从而得到加权向量 WMVDR=x2a,方位谱为PvD(e)= WMVDROORXWMVDR(O) MUSIC方位估计:设计原理是对数据协方差矩阵进行特征分解Rx=EAEH从而获得噪声子空间En,其方位谱函数为 PE-MUSIC(O 利用噪声子空间特征向量与期望方向 aH(O)EnERa(e 导冋向量正交的特性,可使方位谱在期望信号方向形成峰值。但是常规阵元域算法一般具有稳健性较差,方位分辨信噪比门限较高等缺点,通过采用波束形成器作为预处理器,得到的波数域方位估计方法能够改善阵元域方法的性能主要区别:(i)ⅦSTC方法比MVR波束扫描方法能更好的分辨信号源方位,且方位佔计误差更小,即方位分辨能力更高,但 MUSIC方法的分辨性能受信噪比的影响更大。(ii MUSIO方法估计方位谱中的峰值并非信号真实功率(信噪比),是伪谱。而MDR波束扫描方法在能正确分辨信号的前提下,其方位谱能正确指示信号功率, 12请推导M元均匀圆坏阵的波束响应p(6)解析表达式,并证明当M为偶数时,均匀圆环阵的波束响应为 p(0)=Jo(2)+2 2I-1JiM(2)cos(LMB 式中z=2 kr sin 【分析】: (1)均匀圆环阵波束响应p()推导 8 2(m-1) 考虑一个由M个阵元组成的均匀圆环阵,假设圆半径为r,将圆环阵置于平面,圆环屮心为坐标原点,假设第m个阵元位」圆环上的角度为8m=2m(m-1)/M,m=1,…,M,各阵元的位置可以用三维坐标表示: Pm= [rcos 9m, rsin 9m,0]m M 已知山离散阵元组成的基阵的阵列流形向量为 a(k)=[exp(-ikp1), exp(-ikTp2),,exp(-ik)] 式中k=-ksinφcosO, sin p sin0,cosd]T是对应于=(0,)的波束向量,k=。将阵元位置向量pm代入上式可计算其阵列流形向量为 ikr sin巾cos(1-6) ,ikr sin中Cos(2-6) rsinφcns(6M-6) 若我们只考虑水平面波束形成,即令φ=90°,于是阵列流形向量可以简化成 a(e)=elk cos(91-8) eikr cos(92-0 ikr cos(9 1-6)T 如果进行水平面常规波束形成,假设波束期望方向为,则波束加权向量为 C M 于是可计算水平方向波束响应为 p()=wa(0) M 从而可得均匀圆环阵水平方向波束响应为 (0)=2m-1 exp(ikr(cos(0m-0)-cos(9m -))) 由于cos(6m-0)-cos(m-0)=-2sn°sin(-68m),可得 e+日 p() 2Em=1 exp(-2ikr si. e_00 sin( 28m M M Zm=1 exp (isin (β-8m) 式中z=2krsn=。,B 0+e (ii)证明定义 a.ai[2 eikr sin cos(9-0)e-ing di 由贝塞尔函数性质可化简得 In( kr sin中)e 对于一个由M个阵元组成的均匀圆环阵,若只考虑水平面波束形成,即令中=90°。并假设波束期望方向为o,则水平方向波束响应为 p(0)=m= exp(iz sin(B-0m)) 1M=1e p(Z CO os(9m-B-2D) 式中z=2ksin9-n,B=+0 利用圆谐波变换,设 (om)=exp(iz cos(om -B-2))=Ems-o 8n e in1 式中傅里叶系数gn是与n无关的量,可由下式计算 g g(ome-inuimd9 1 r2t eiz cos(0m-p De-inim d9 2 In(2c 将上式代入p(θ)中可得 p(0)=-∑M=1g(0n) ∑m=1(∑m=- greim) (∑m-1 enum) M 12∑=-9(Cm=1em)+1】2-gn(∑=1emn) 其中 1 式中q=cM。 (i)若7≠lM,l为整数,则q≠1 ∑m=1 0 (i)若n=lM,l为整数,则q=1 M M 所以 p(0)=∑m=-8n=∑

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