矩阵基本知识以及矩阵求导，蛮不错的，硬盘里翻出来的，之前下载的概念:如果η阶方阵A的所有元素,以对角

文件名称: 矩阵基本知识以及矩阵求导

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详细说明：矩阵基本知识以及矩阵求导，蛮不错的，硬盘里翻出来的，之前下载的概念:如果η阶方阵A的所有元素,以对角线为对称轴对称的元素相等,则称n阶方阵为对称阵。记作:如果A=A,则A为η阶对称阵 112n阶方阵的行列式对象:n阶方阵A=(a)nxn 性质: 1)|A=|A 2)A|=入^nA 3)|AB=|A|B|,其中A和B都为n阶方阵矩阵A=a)nxn,B=(b)nxn 4)对于n阶矩阵A和B,一般来说 AB=BA,但是总是有:AB|=BA|=A|B 5)AA*=A*A=AE,其中A为伴随矩阵,E为n阶单位矩阵 6)|l|=1,单位矩阵的行列式等于1 1.13逆矩阵对象:n阶方阵A和B,A=(a)nxn,B=(b)xn 概念:如果AB=BA=E,其中E为n阶单位矩阵,则称A是可逆的,B为A的逆矩阵,简称逆阵,记作A(-1) 性质: 1)可逆n阶方阵A的逆矩阵只有一个,因为B=BE=B(AC=(BAC=EC=C,所以B=C,所以A 只有一个可逆矩阵 2)什么样的方阵可逆? 如果A≠0,则n阶方阵A是可逆的。 3)逆阵A和伴随矩阵的关系? A~-1=A*/A 4)若A和B是同阶方阵且均可逆,则AB也可逆,并且 (AB)^(-1)=B~(-1)A(-1) 5)若A可逆,则A也可逆,且: (A)^(-1)=(AA(-1) 6)若A可逆,则A也可逆,且 (A*)^(-1)=(A^(-1) 114奇异矩阵 A|=0时,A称为奇异矩阵。 A知0与A可逆是充分必要条件,即可逆矩阵就是非奇异矩阵。 1.5线性方程组 a11x1ta12X2+...taljxj. .....talnxn b1 a21x1+a22x2+ +a2」xj+.…a2nxn=b2 am1×1+am2X2+.+amⅸ×j+.+ amnon=bm 1.16系数矩阵线性方程组中系数组成的矩阵,A=amxn,称为系数矩阵可简单记作A=(a1,a2,…ai.,an),其中ai为单列矩阵(ai1,a2,ai3,…an) 117未知数向量线性方程组中自变量x组成的列向量,X=(×1,x2,…,xn)称为未知数向量 118常数项向量线性方程组中最后端的常熟组成的列向量b=(b1,b2,……,,bm),称为常数项向量 1.19增广矩阵 B=(系数矩阵,常数项矩阵)=(A,b)=(a1,a2,…….,an,b),即 a11a12a13..a1nb1 a21a22a23.a2nb2 am 1 am2 am 3 amn bm 1.20梯度矩阵标量y对矩阵Xmxη的导数,得到的就是梯度矩阵 dydX=(y/×j)mxn,=1,2……m,j=1,2,,n 展开就是 af/ ax11 af/ax12 af/ax13 af/axin af/ax21 af/ax22 af/ax23 af/ax2n ■口■■■ ■■■■ Of/0xm1af/0xm2Of×m3 af/ axmn 2函数的基本概念 21实值函数如果一个函数f(x)的值域在实数范围内,则此函数f(x)称为是实函数,也叫实值函数。 22矩阵值函数如果一个矩阵A(xmxn的每个元素a(x)都属于实数范围(a,b)内,则此矩阵A(x)mxn称为短阵值函数。一般记A(x)mxn是实数区间(a,b)上mⅪn阶矩阵值函数,矩阵值函数中每个元素都满足: a(X)j∈(a,b) 23向量值函数如果一个矩阵A(x)mx1的元素a(x)1都属于实数范围(a,b)内,则此矩阵A(xm×1称为向量值函数可知向量值函数是矩阵值函数的列等于1时的函数。 24矩阵函数( matrix function) 如果一个函数的定义域和值域都是方阵,则此函数称为矩阵函数 3矩阵值函数的导数运算如果一个矩阵A(x)mxn的每个元素a(X)都属于实数范围(a,b)内,则此矩阵Ax)mⅪη称为矩阵值函数假设有矩阵值函数A(x),B(x),下面简单记作AB,并用符号d(A)表示对矩阵值函数A进行求导! 1)A(x)是常数矩阵的充分必要条件是dA(x)/dx=0 2 )d(A+B)=da+ dB 3 d(AB=(dA)B+ A(dB 4多元函数f(X对矩阵X求导如果f=f(X作为X∈R^(pxq)的多元函数,且是可微的,则多元函数树矩阵X的导数为 dfdX=(/×j)p×q= af/ax1 af/ax12 af/ax13 af/ax1q af/ax21 af/ax22 af/8x23 af/axa af/axp af/axp2 af/axp3 af×pq 也就是:X矩阵大小不变pq,刈侮每个元素都换成(X)对×求导,得到的新矩阵,就是 dfdx 此时得到的导数就是梯度矩阵~~~ 5多元函数(x对向量x的求导如果f=(x)是向量x∈R^n的多元函数,且是可微的,则对向量x的导数为 df/dx=(af/ax1, af/ax2, af/ax3,.., af/axn) 6标量y对标量x的求导直接写作:dy/dx 6标量y对矩阵X的求导般情况下,只用到标量对矩阵的求导~~ 7向量A对标量x的求导记作A=(a1,a2,a3,an),则向量A对标量x的求导为: dA/dx=dai/ax, i=1.2 "" dA/dx=(da1/ax, aa2/ax an/dX 8矩阵对标量x的求导矩阵A,标量x,则矩阵A的每个元素分別对标量x求导 dA/dx=daij/ax, i=1, 2,... m,j=1, 2,.., n 展开就是 aal1/ax aa12/ax dan/ax aa21a×aa2210xaa2n/x aam 1/ax aam2/ax damn/ax 9向量Y对向量X的求导 Y=(y1,y2,…,ym),X=(x1,X2,…,Xn) dY/dX=(ayi/axj)mxn, i=1, 2,. ... m, j=1, 2, ..., n 展开就是 ay1ax1ay1×2…ay1/axn ay2ax1ay2×2…ay2/axn ay3ax1ay3/×2…ay3/axn aym/ax1 aym/ax2 ym/axn 10矩阵Y关于向量X的求导 Y=(y)m×n对向量X=xkk=1,2,,n求导 dY/d×=( ayij/ax)mxn,i=1,2,,m,j=1,2,…,n 展开就是: ay11×1ay12/ax2 ayn/axn ay2110×1ay22/0×2…ay2n/axn ayi1/0×1ayi2/ax2 dyin/axn aym1/a×1aym2/×2…aymn/xn 11.常用导数总结假设有:a是实数,X、β是向量、A、B、C是和X无关的矩阵且X、β'、A、B、C分別表示各自矩阵的转置矩阵,这是为了方使表示用'替代了T 注释:为了方便书写博客,d(fxX)表示a((X)X,即fxX)对X的导数 1)d(×)=β,其中β是β的转置矩阵 2)dX")=E 3)d(XX")=2 4 d(AD(X) B)=Ad(D(X))B 5)d(XAX=(A'+AX 尝试用的矩阵的迹的公式有: 1) tr(a=a 2) tr(AB)=tr(BA) 3)tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB) 4 ) tr(A)=tr(A) 5)dtr(AB)=dtr(Ba)=B 此处dtr(AB)含义是atr(ABaA 6)dtr(AxB)=dtr(BXA)AB,其中A、B、X在此处都是矩阵,且A、B 和矩阵X无关 7)dtr(ABAC)=CAB+CAB,此处dtr(ABAC)含义是at( ABAC)aA 8)dtr(AXBX)=AXB′+BXA',此处dtr(AXBX)含义是∂dt(AXBX)/aX (end) 版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载,转载请注明文章来源,联系方 It:vipsummer139.comhttps://blog.csdnnet/u012421852/article/details/79548542

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